INTEGRAL DE LÍNEA

OBJETIVO

Un primer objetivo es que el alumno aprenda a parametrizar curvas, tanto en el plano como en el espacio tridimensional. En primer lugar se trata de identificar la gráfica de curvas clásicas como las parábolas, las circunferencias y elipses, las hipérbolas, así como las curvas dadas por intersección de distintas superficies. 

A continuación se abordará el concepto de campo escalar definido sobre una curva e integral de este tipo de campos sobre curvas para obtener elementos físicos importantes como masa de varillas finas, centros de masas y distintos momentos. 

Finalmente el cálculo de la integral de línea para el caso de un campo vectorial culminará el tema obteniendo resultados acerca del trabajo necesario para desplazar un objeto sobre una trayectoria sometida a un campo de fuerzas. 

En este momento se abordará el concepto de campo vectorial conservativo y se darán todas las caracterizaciones sobre este resultado. 

Los objetivos concretos son entender propiedades de los campos conservativos y aplicar los teoremas adecuados para resolver integrales de línea de un campo vectorial a lo largo de un curva así como interpretar geométricamente los datos del problema y los resultados.

 INTRODUCCIÓN

Una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva definida en el plano o en el espacio. 

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser: 

1. El cálculo de la longitud de una curva en el plano o en el espacio. 

2. El cálculo del trabajo que se realiza para mover un objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo. 

3. Cuando nos referimos a un sistema cuya masa está distribuida de forma continua en una región del plano, los conceptos de masa, centro de gravedad y momentos se definen mediante integrales en línea.

Tomando en cuenta esto tenemos que : 

Si \(f:[a,b]→R\), es una función continua en \([a,b]\) entonces \(\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\) , donde \(F’(x) =f(x)\) ∀ x \(\epsilon[a,b]\) (integral definida); es decir, que la integral se realiza sobre el intervalo cerrado \([a,b]\).

Ahora generalizamos ésta integral, en donde la función f sea continua sobre la curva\(C: \vect\alpha{t}\) y a estas integrales le llamaremos integrales curvilíneas ó de línea y denotaremos por \(\int_{a}fds\), es decir:    

Que consideremos una curva regular \(\alpha\):[a,b]→ \(R^3\), tal que: \(\alpha\):[a,b] = C ⊂ \(R^3\) es su imagen de \(\alpha\). Sea \(f:\) C ⊂ \(R^3\)→R una función definida sobre la curva C ⊂ \(R^3\) . Cuya representación gráfica haremos de la siguiente manera:

FUNDAMENTO TEÓRICO 

Propiedades fundamentales de la integral de línea o curvilínea.

Existen tres propiedades fundamentales para el calculo de una integral de línea las cuales las vamos a describir a continuación.

1. INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO ESCALAR CONTINUO.

Sea \(\alpha\) [a,b] → \(R^n\) una curva C y \(f:\) \(R^n → R\) un campo escalar continuo, la integral de línea  de f a lo largo de \(\alpha\) se define como:$$\int_{\alpha}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(\alpha(t))||\alpha'(t)||dt.$$

Por lo tanto hemos de calcular la integral simple en el dominio de definición del parámetro que define la curva, \(t\epsilon[a,b]\), de la evaluación del campo escalar sobre la curva multiplicado por el módulo del vector tangente a la curva.

2. INTEGRAL DE LÍNEA EN UN CAMPO VECTORIAL CONTINUO (SEGUNDA ESPECIE)

Consideremos la integral curvilínea \(\vec{\alpha}\) : [a, b] → \(R^3\), definida por \(\vec{\alpha(t)}\) = \((\alpha_{1}(t), \alpha_{2}(t), \alpha_{3}(t))\) tal que  \(\vec{\alpha(t)} ([a, b]) = C \subset R^3\) es la imagen de \(\vec{\alpha}\).

Si  \(P,Q,R: C\subset R^3 → R\) son funciones continuas sobre C, entonces:

\(\int_{c}^{}P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz\) 

\(=\int_{a}^{b}[P(\alpha_{1}(t),\alpha_{2}(t),\alpha_{3}(t)\alpha_{1}'(t) + Q\alpha_{1}(t),\alpha_{2}(t),\alpha_{3}(t)\alpha_{2}'(t) + R\alpha_{1}(t),\alpha_{2}(t),\alpha_{3}(t)\alpha_{3}'(t)]dt\)

Es por eso que estas integrales reciben el nombre de integrales curvilineas de segunda especie.

3.INTEGRAL DE TERCERA ESPECIE

Si la curva \(C:\vec{\alpha}(t) = ((\alpha_{1}(t),\alpha_{2}(t),\alpha_{3}(t))\)para \(t\epsilon[a,b]\)una curva seccionalmente regular, entonces procedemos hacer una partición de \(a=t_{0} <..t_{n}=b\),tal que C exista para [a,b] y esto resulta de la unión de las curvas regulares.

\(\int_{c}f(x,y,z)dS = \int_{c_{1}}f(x,y,z)dS + \int_{c_{2}}f(x,y,z)dS + ...+ \int_{c_{n}}f(x,y,z)dS = \sum_{i=1}^{n}\int_{c_{1}}f(x,y,z)dS\)

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LÍNEA

La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar.

En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también INTEGRAL DE CONTORNO.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

El cálculo de la longitud de una curva en el espacio.

El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva.

Ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo. 

1. LONGITUD DE UNA CURVA.

Consideramos una curva regular \(\vec\alpha:[a,b]→ R^3\) tal que \(\vec\alpha([a,b] = C \subset R^3\) es la imagen de \(\vec\alpha\).

Sea \(f: C \subset R^3→R\), una función continua sobre C tal que \(f(x,y,z)=I,\forall(x,y,z) \epsilon C\).

si C es un alambre ,entonces la longitud del alambre se representa como : 

$$\int_{}^{}f(x,y,z)dS =\int_{c}^{}dS$$

2. CENTRO DE MASA 

Si \(p: C \subset R^3 → R\), es la función densidad de la masa del alambre , entonces la masa del alambre recorrido por la curva C es M = \(\int_{c}p(x,y,z)dS\), de donde el centro de masa del alambre es el punto \(x,y,z\) siendo:

\(x=\frac{\int_{c}xp(x,y,z)dS}{M}\);                                        \(y=\frac{\int_{c}yp(x,y,z)dS}{M}\);                                                   \(x=\frac{\int_{c}zp(x,y,z)dS}{M}\);

BIBLIOGRAFÍA

TeorÍa y problemas de an´alisis vectorial (Nestor Javier Thome Coppo), ISBN: 9788483632291 

Calculo vectorial (Jerrold E. Marsden.) Frank Ayres, Jr., Elliot Mendelson. 

Cálculo diferencial e integral. Editorial McGraw-Hill tercera edición. ISBN: 84-7615-560-3.

Análisis Matemático III Eduardo Espinoza Ramos.pdf